设∑是平面x+y+z=4被圆柱面x*x+y*y=1截出的有限部分,求曲面积分∫∫|y|dS.积分区域为∑

Question

设∑是平面x+y+z=4被圆柱面x*x+y*y=1截出的有限部分,求曲面积分∫∫|y|dS.积分区域为∑

Answer 1

∑ :z=4-x-y
σxy :x*x+y*y=1,σ'xy :y=√(1-x^2),
zx=-1,zy=-1,dS=√（1+zx^2+zy^2)dxdy=√3dxdy,
∴I=∫∫(σxy )√3|y|dxdy=
∫∫(σ'xy )√3ydxdy=∫(-1→1)dx∫(0→√1-x^2）√3ydy
=∫(-1→1)√3/2（1-x^2）dx=2∫(0→1)√3/2(1-x^2)dx=√3(x-x^3/3)|(0→1)
=(2/3)√3.