求心形线r=a（1+cosθ）（a>0）绕极轴旋转所得旋转曲面的面积．

Question

求心形线r=a（1+cosθ）（a>0）绕极轴旋转所得旋转曲面的面积．

Answer 1

由于心形线是关于极轴对称的，因此所求旋转曲面的面积为上半个心形线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积
又心形线的弧长微分为ds=√(r2+r′2)dθ=√(2)a√(1+cosθ)dθ
∴得到面积微元dS=2πrsinθds=2√(2)a2πsinθ(1+cosθ)(3)/(2)dθ
∴面积为

∫

π 0

dS=2√(2)a2

∫

π 0

sinθ(1+cosθ)(3)/(2)dθ
=2√(2)πa2•[-(2)/(5)(1+cosθ)(5)/(2)

]

π 0

=(32)/(5)πa2