二元函数在某点处的切平面如何求?一元函数可以在此点处先求导,然后根据点斜式写出切线方程.不知二元函数怎样?

Question

二元函数在某点处的切平面如何求?
一元函数可以在此点处先求导,然后根据点斜式写出切线方程.不知二元函数怎样?

Answer 1

设Z＝f（x,y）.在（x0,y0）可微.z0＝f（x0,y0）.则曲面Z＝f（x,y）.在（x0,y0,z0）有切平面：
[f'x（x0,y0）]（x-x0）+[f'y（x0,y0）]（y-y0）-（z-z0）＝0
[f'x（x0,y0）]是f 在（x0,y0）处对x的偏导数.
向量Tx＝｛1,0,f'x（x0,y0）｝是Z＝f（x,y）.在（x0,y0,z0）处延x轴的切方向
向量Ty＝｛0,1,f'y（x0,y0）｝是Z＝f（x,y）.在（x0,y0,z0）处延y轴的切方向
n＝Ty×Tx＝｛f'x（x0,y0）,f'y（x0,y0）,-1｝ [×是向量积]
是Z＝f（x,y）.在（x0,y0,z0）处的一个法线方向,
所以切平面方程为n·｛x-x0.y-y0,z-z0｝＝0 [·是数积]
即 [f'x（x0,y0）]（x-x0）+[f'y（x0,y0）]（y-y0）-（z-z0）＝0
或者Z＝[f'x（x0,y0）]（x-x0）+[f'y（x0,y0）]（y-y0）+z0