在曲面z=(x^2+y^2)^1/2上找一点使其与点(1,2^1/2,3*3^1/2)的距离最短我先求得它的法向量,然后让法向量通过那个点(1,2^1/2,3*3^1/2)使曲面上切点的向量等于t倍的(1,2^1/2,3*3^1/2),怎么求出来跟答案不一样.

Question

在曲面z=(x^2+y^2)^1/2上找一点使其与点(1,2^1/2,3*3^1/2)的距离最短
我先求得它的法向量,然后让法向量通过那个点(1,2^1/2,3*3^1/2)使曲面上切点的向量等于t倍的(1,2^1/2,3*3^1/2),怎么求出来跟答案不一样..答案是（2,2*2^1/2,2*3^1/2）

Answer 1

设曲面上任一点坐标为(r*cosa,r*sina,r),则其与点(1,2^1/2,3*3^1/2)的距离的平方是
(rcosa-1)^2+(rsina-2^(1/2))^2+(r-3*3^(1/2))^2
=2r^2-(2cosa+2*2^(1/2)sina+6*3^(1/2))r+30
=2[r^2-(cosa+2^(1/2)sina+3*3^(1/2))r+15]
要使距离最短,则上面[]内的式子要取最小值
（上式的判别式你可以算一下,即使cos,sin都取到1,仍然可以算出来是小于0,所以上式肯定为正数）
当r=(cosa+2^(1/2)sina+3*3^(1/2))/2时,取最小值
明显这是一个曲线.题目要求找一点,我们可以假设cosa=1,sina=0,则r=(1+3*3^(1/2))/2
对应的点坐标是( (1+3*3^(1/2))/2, 0, (1+3*3^(1/2))/2 )