（2009•本溪一模）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，OA=10cm，OC=8cm，将矩形沿直线CD折叠，使点B落在x轴上点E处．（1）求E点坐标；（2）将△AED沿x轴向左平移，

Question

（2009•本溪一模）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，OA=10cm，OC=8cm，将矩形沿直线CD折叠，使点B落在x轴上点E处．
（1）求E点坐标；
（2）将△AED沿x轴向左平移，速度为1cm/秒，设平移的时间为t（秒），且0＜t＜(25)/(4)，△AED与△CED重叠部分的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，求出S的最大值．

Answer 1

解（1）∵矩形ABCD，∴∠O=∠B=90°
由折叠得：BC=CE=10，0C=8
∴由勾股定理可得OE=6
∴E（6，0）

（2）设ED=BD=xcm，AD=（8-x）cm
由（1）得AE=10-6=4
∴由勾股定理得：4²+（8-x）²=x²
∴x=5∴ED=5，AD=3，AE=4
∴S△ADE＝(1)/(2)×3×4＝6
∴当0＜t＜4时，如图①，可证△A₁QE∽△ADE，△EPE₁∽△DAE；
当4＜t＜(25)/(4)时，如图②，可证△D₂MN∽△EA₂N∽△DAE；
①当0≤t＜4时，AA₁=EE₁=tcm，A₁E=（4-t）cm 
∴S△A1EQ＝S△AED•((4−t)/(4))2=6•((4−t)2)/(16)＝(3(4−t)2)/(8)
S△EPE1＝S△AED•((t)/(5))2＝(6t2)/(25)
∴S＝6−(3)/(8)(4−t)2−(6)/(25)t2=−(123)/(200)t2+3t＝−(123)/(200)(t−(100)/(41))2+(150)/(41)
②当4≤t＜(25)/(4)时，(A2N)/(AE)＝(A2E)/(AD)
∴A2N＝(4(t−4))/(3)
∴D2N＝3−(4)/(3)(t−4)＝−(4)/(3)t+(25)/(3)
∴S＝6•((−(3)/(4)t+(25)/(3))/(5))2＝(2)/(75)(4t−25)