如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时针方向排列），求点P极坐标系的轨迹方程，并化成直角坐标系方程．

Question

如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时针方向排列），求点P极坐标系的轨迹方程，并化成直角坐标系方程．

Answer 1

取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=5的极坐标方程为ρcosθ=5，
设A（ρ₀，θ₀），P（ρ，θ），
因点A在直线ρcosθ=5上，故ρ₀cosθ₀=5，（1）
又因三角形OPA为等腰三角形，且∠OPA为120°，而|OP|=ρ，|OA|=ρ₀，
以及∠POA为30°，∴ρ₀=√(3)ρ，且θ₀=θ-30°，（2）
把（2）代入（1）得，
点P的极坐标的轨迹方程√(3)ρcos（θ-30°）=5．
直角坐标系方程为√(15)x-√(3)y-10=0．