甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数,规则是禁止写黑板上写过的数的约数,不能完成下一步的为失败者.如果先写者甲第一步写3,乙下一步写时就能稳超胜券.

Question

甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数,规则是禁止写黑板上写过的数的约数,不能完成下一步的为失败者.如果先写者甲第一步写3,乙下一步写 时就能稳超胜券.

Answer 1

甲可以获胜.如甲写6,去掉6的约数1,2,3,6,乙只能写4,5,7,8,9,10这六个数中的一个,将这六个数分成（4,5）,（7,9）,（8,10）三组,当乙写某组中的一个数,甲就写另一个数,甲就能获胜.
甲不能写1,否则乙写6,乙可获胜；甲不能写3,5,7,否则乙写8,乙可获胜；甲不能写4,9,10,否则乙写6,乙可获胜.因此,甲先写6或8,才有可能获胜.
甲写8,甲也可以获胜,去掉8与8的约数：1、2、4,8,乙只能写3,5,6、7,9,10这六个数中的一个,当乙写6（或10）,甲就必须写10（或6）,因为乙写6（或10）后,连带3（或5）也不能写了,甲就必须写10（或6）连带5（或3）也不能写,这样才能保证剩下能写的数有偶数个,甲才可以获胜,
甲写10 与9 不能获胜也是这个道理可通过归纳实验验证.
正是因为甲写6后,乙只能写4,5,7,8,9,10这六个数中的一个,这六个数中没有一个是其他五个中的任意一个的约数,保证了乙、甲两人轮流在黑板上写的数字剩下偶数个,乙最后不能写,