将1到20分成两组,一组的和等于另一组的乘积,问乘积所有可能取值.每个数都要用到

Question

将1到20分成两组,一组的和等于另一组的乘积,问乘积所有可能取值.
每个数都要用到

Answer 1

首先1+2.+20=21*20/2=210
首先作为乘积的那一组个数不能超过5个数
否则乘积>1*2*3*4*5*6=720>210显然这种情况不能能满足一组的和等于另一组的乘积
显然乘积的个数不能能少于2个,否则乘积小于20但是和明显大于20
1,假如乘积的个数为2个,乘积的哪一组的两个数大的为a,小的为b
显然ab=210-a-b =>ab-a-b=210 =>(a-1)(b-1)=211 显然211为质数故a-1=1 b-1=211 =>a=2 b=212显然这两个数并不是完全属于1-20故不合题意
2,假如乘积的个数为3个,乘积的哪一组的三个数从小到大为a,b,c
显然abc=210-a-b-c =>abc+a+b+c=210
假如a>=5显然abc>=5*6*7=210 显然abc+a+b+c>210不合题意
故abc+b+c+1=210=>(b+1)(c+1)=210=2*3*5*7=21*10=14*15
b=13 c=14或者b=20 c=10 此时abc=182或者200
当a=2 =>2bc+b+c+2=210=>b=(208-c)/(2c+1)
=>2b=(417-(2c+1))/(2c+1)=417/(2c+1)-1
显然2b是整数,故417/(2c+1)是整数417=3*139考虑到2c+1在1-41这个范围内 =>2c+1=3 =>c=1对应的b=69显然不符合题意
当a=3时=>3bc+b+c=207 =>9bc+3b+3c+1=622
=>(3b+1)*(3c+1)=622=2*311=>3b+1=2显然不满足题意
当a=4时=>4bc+b+c=206 =>16bc+4b+4c+1=825=(4b+1)(4c+1)=3*5*5*11
13=4a+1=3显然abcd+a+b+c>=3*4*5*6+3+4+5+6>210 与上式矛盾
a=2时=>2bcd+b+c+d=208 假如b>=4显然2bcd+b+c+d>=2*4*5*6+4+5+6>210与上式矛盾=>b=3 =>6cd+c+d=205=>36cd+6c+6d+1=1231=(6c+1)(6d+1)=1231显然1231为质数=>6c+1=1 6d+1=1231显然不合条件
a=1时=>bcd+b+c+d=209 当b>=5时 =>bcd+b+c+d>=5*6*7+5+6+7>209
故b4cd+c+d=205=>16cd+4c+4d+1=821=(4c+1)(4d+1)=821显然821也是质数故不合题意
b=3=>(3c+1)(3d+1)=619 显然619也是质数故不合题意
b=2=>(2c+1)(2d+1)=415=5*83 =>b=2 d=41不合题意
3,假如乘积的个数为5个,乘积的哪一组的五个数从小到大为a,b,c,d,e
假如a>=2=>abcde+a+b+c+d+e>=2*3*4*5*6>210
故a=1 =>bcde+b+c+d+e=209假如b>=3同理可证bcde+b+c+d+e>209
=>b=2=>2cde+c+d+e=207 假如c>=4 显然2cde+c+d+e>=2*4*5*6+4+5+6>207矛盾=>c=3=>3de+d+e=204=>9de+3d+3e+1=613=(3d+1)(3e+1)=613显然613也是质数=>d=0 e=204矛盾
终上所述,乘积的可能取值为1*13*14=182或者1*9*20=180或者4*6*8=192