有两个用不同材料制成的实心正方体A、B，已知A重8N，B重4N；A的边长为4cm，B的边长为8cm．如图25所示，轻质弹簧将A、B表面的中央连接固定．水平放置的圆柱形容器内盛有一定量的某种

Question

有两个用不同材料制成的实心正方体A、B，已知A 重8N，B 重4N；A 的边长为4cm，B 的边长为8cm．如图25 所示，轻质弹簧将A、B 表面的中央连接固定．水平放置的圆柱形容器内盛有一定量的某种液体，稳定后物体A 与容器底部接触（不密合），B 的上表面与液面平行且与液面相距2cm，此时物体A 对容器底部的压强为500Pa．已知圆柱形容器的底面积为100cm²；弹簧不受力时长为10cm，在弹性限度内其所受力F的大小与弹簧变形量的关系如图所示．（弹簧的体积忽略不计，g取10N/kg）求：

（1）物体A 的密度；
（2）物体A、B 所受的浮力之和；
（3）容器内所盛液体的质量．

Answer 1

（1）已知A重G=8N．A的质量：
m=(G)/(g)=(8N)/(10N/kg)=0.8kg=800g；A 的边长为L=4cm，A的体积V=L³=（4cm）³=64cm³，
物体A 的密度：
ρ=(m)/(V)=(800g)/(64cm3)=12.5g/cm³；
（2）弹簧的体积忽略不计，g取10N/kg，可将AB视为一个整体，
两正方体重力和：
G_AB=8N+4N=12N-------①
整体受竖直向下的重力G_AB、浮力的作用F_浮和底部对其的支持力F_支的作用下处于静止状态，
故G_AB=F_浮+F_支，所以，F_浮BA=G_AB-F_支=-------②
此时物体A 对容器底部的压强为p=500Pa，A 对容器底部压力为：
F_A=pSA=500Pa×（4×10^-2m）²=0.8N，
根据力的作用相互性，容器底部对A的支持力：
F_支=0.8N--------③，
由①②③得：物体A、B 所受的浮力之和；
故F_浮BA=11.2N--------④；
（3）B 的上表面与液面平行且与液面相距2cm，故B排开液体的体积V_排B=（8cm-2cm）×（8cm）²，
A排开液体的体积V_排A=（4cm）³，
两物体排开液体的体积之比：
(V排B)/(V排A)=(6cm×(8cm)2)/((4cm)3)=(6)/(1)，
根据阿基米德原理F_浮=ρ_液gV_排，在液体密度相同时，受到浮力与排开液体的体积成正比，
即(F浮B)/(F浮A)=(6)/(1)--------⑤，
由④⑤得：B受到浮力：
F_浮B=(6)/(1+6)×11.2N=9.6N，
以B为研究对象，受竖直向下的重力G_B=8N，竖直向上的浮力F_浮B=9.6N、及弹簧施加弹力F_弹的作用，处于静止状态，因浮力大于重力作用，弹簧对B施加的弹力方向竖直向下，（根据力的作用是相互的，B对弹簧的拉力方向竖直向下，即弹簧在水中伸长了），故G_B=F_浮B+F_弹，
故F_弹=F_浮B-G_B=11.2N-4N=5.6N，
由图象知，此时弹簧伸长为2.8cm；此时弹簧的长为：
h=10cm+2.8cm=12.8cm，
故容器内液体的深度：
h′=6cm+12.8cm+4cm=22.8cm，
容器内液体的体积：
V_液=h′×S_圆-V_排A-V_排B=22.8cm×100cm²-64cm³-384cm³=1832cm³，
F_浮BA=ρ_液g（V_排B+V_排A），
液体的密度：
ρ_液=(F浮BA)/(g(V排A+V排B))=(11.2N)/(10N/kg×(64+384)×10-6m3)=2.5×10³kg/m³，
液体的质量：
m_液=ρ_液V_液=2.5×10³kg/m³×1832×10^-6m³=4.58kg．
答：（1）物体A 的密度为12.5g/cm³；
（2）物体A、B 所受的浮力之和为11.2N；
（3）容器内所盛液体的质量为4.58kg．