黎曼之前的积分是怎么定义的高数书上的定积分的定义是黎曼给的,就是分离-近似-求和-取极限那个,所以说一个函数可积又叫黎曼可积,我想知道在黎曼给出这个定义之前,积分是否有其他人

Question

黎曼之前的积分是怎么定义的
高数书上的定积分的定义是黎曼给的,就是分离-近似-求和-取极限那个,所以说一个函数可积又叫 黎曼可积,我想知道在黎曼给出这个定义之前,积分是否有其他人的定义,是咋定义的呢?

Answer 1

不太严格地来说,黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候,黎曼和趋向的极限.下面的证明中,会对“越来越‘精细’”作出严格的定义.
要使得“越来越‘精细’”有效,需要把λ趋于0.如此[xi,xi + 1]中的函数值才会与f(ti)接近,矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小.实际上,这就是黎曼积分定义的大概描述.
严格定义如下：S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分,当且仅当对于任意的ε > 0,都存在δ > 0,使得对于任意的取样分割、,只要它的子区间长度最大值 ,就有：
}-
也就是说,对于一个函数f,如果在闭区间[a,b]上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值,那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限,这时候称函数f为黎曼可积的.
这个定义的缺陷是没有可操作性,因为要检验所有的取样分割是难以做到的.下面引进另一个定义,然后证明它们是等价的.
另一个定义:S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分,当且仅当对于任意的ε > 0,都存在一个取样分割、,使得对于任何比其“精细”的分割 and ,都有：
}-
这两个定义是等价的.如果有一个S满足了其中一个定义,那么它也满足另一个.首先,如果有一个S满足第一个定义,那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个.对于比其精细的分割,子区间长度最大值显然也会小于δ,于是满足
}-
其次,如果有一个S满足第二个定义,首先引进达布积分的概念.首先第二个定义和达布积分的定义是等价的,具体见达布积分.其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义.任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与S相差不超过 .令r等于,其中Mi和mi是f在[xi,xi + 1]上的上确界和下确界.再令δ是和}-中的较小者.可以看出,当一个分割的子区间长度最大值小于δ时,f关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差,所以和S至多相差ε.