已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．

Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值．
（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．

Answer 1

（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（-1）=1-a+b，对称轴为x=-(a)/(2)，
因为|a|≥2，所以-(a)/(2)≤-1或-(a)/(2)≥1，
所以函数f（x）在[-1，1]上单调，
所以M（a，b）=max{|f（1），|f（-1）|}=max{|1+a+b|，|1-a+b|}，
所以M（a，b）≥(1)/(2)（|1+a+b|+|1-a+b|）≥(1)/(2)|（1+a+b）-（1-a+b）|≥(1)/(2)|2a|=|a|≥2；
（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；
又对任意x∈[-1，1]．有-2≤x²+ax+b≤2，
得到-3≤a+b≤1且-3≤b-a≤1，-2≤(4b-a2)/(4)≤2，
易知（|a|+|b|）_max=max{|a-b|，|a+b|}=3，在b=-1，a=2时符合题意，
所以|a|+|b|的最大值为3．