lim[(1+1/x)^x^2]/e^x（X趋于正无穷）具体的讲一下

Question

lim[(1+1/x)^x^2]/e^x （X趋于正无穷）
具体的讲一下

Answer 1

先取自然对数得
lim（x→∞）ln{[(1+1/x)^x^2]/e^x }
=lim（x→∞）ln[(1+1/x)^x^2]-lne^x
=lim（x→∞）x^2ln(1+1/x)-x (令x=1/t)
=lim（t→0）ln(1+t)/t^2-1/t
=lim（t→0）[ln(1+t)-t]/t^2 (运用洛必达法则）
=lim（t→0）[1/(1+t)-1]/(2t)
=lim（t→0）[-t/(1+t)]/(2t)
=lim（t→0）-1/[2(1+t)]
=-1/2
所以
lim（x→∞）[(1+1/x)^x^2]/e^x
=lim（x→∞）e^ln{[(1+1/x)^x^2]/e^x }
=e^(-1/2)