求教积分问题g(x,y)只取两常数值f(x,y)

Question

求教积分问题
g(x,y)只取两常数值
f(x,y)

Answer 1

设
I(t)=∫∫[f(x,y)-g(x,y)]²dxdy=∫∫_1[f(x,y)-a]²dxdy+∫∫_2[f(x,y)-b]²dxdy
其中积分区域1和2的边界为f(x,y)=t.
则
I(t+dt)=∫∫_1[f(x,y)-a]²dxdy+∫∫_2[f(x,y)-b]²dxdy-∫∫_3{[f(x,y)-a]²-[f(x,y)-b]²}dxdy
其中区域3为f(x,y)=t和f(x,y)=t+dt两条曲线之间的区域.化简上式得
I(t+dt)=I(t)-∫∫_3[a²-b²-2f(x,y)(a-b)]dxdy
区域3的面积为dS=∫∫_3dxdy,取dt=0的极限,则区域3内f(x,y)=t,得到
dI(t)/dt=-[a²-b²-2(a-b)t]dS/dt
积分∫∫[f(x,y)-g(x,y)]²dxdy为极小值时,dI(t)/dt=0,于是
a²-b²-2(a-b)t=0
若a不等于b,解得
t=(a+b)/2