函数F(X)在0,+无穷）上可导,F(0)=0,F'(X)递减,证0小于等于A小于等于B,有F(A+B)小于等于F(A)+F(B)

Question

函数F(X)在【0,+无穷）上可导,F(0)=0,F'(X)递减,证0小于等于A小于等于B,有F(A+B)小于等于F(A)+F(B)

Answer 1

因为函数F(X)在【0,+无穷）上可导,
在[0,A]上由拉格朗日中值定理知,在（0,A）上至少存在一个x1,使得
F'(x1)=[F（A)-F(0)]/A=F(A)/A,
类似在[B,A+B]上有
F'(x2)=[F（A+B)-F(B)]/（A+B－A）
=〔F（A＋B）－F(B)〕/A,
上面两式相减
F'(x2)－F'(x1)
＝[F（A+B）-F（A）-F（B）]/A
因为F'(X)递减,所以上式小于等于0,
所以F（A+B）