高数证明题设函数f(x)在[1/2,2]上可微,且满足∫(1,2)f(x)/x^2dx=4f(1/2)试证明至少存在一点ξ∈(1/2,2),使ξf'(ξ)-2f(ξ)=0

Question

高数证明题
设函数f(x)在[1/2,2]上可微,且满足∫(1,2) f(x)/x^2 dx=4f(1/2) 试证明至少存在一点ξ∈(1/2,2),使ξf'(ξ)-2f(ξ)=0

Answer 1

证明
记g(x)=f(x)/x^2,由初等函数性质知道g(x)在[1/2,2]上可微
由积分中值定理,存在ξo∈[1,2]使得
∫(1,2) f(x)/x^2 dx=f(ξo)/ξo^2(2-1)=f(ξo)/ξo^2=g(ξo)=4f(1/2)=g(1/2)
由罗尔定理,存在ξ,1/2