证明In(1+n)＜1+1/2+1/3+.+1/n＜1+Inn,希望能把步骤写详细点,

Question

证明In(1+n)＜1+1/2+1/3+.+1/n＜1+Inn,希望能把步骤写详细点,

Answer 1

1、令f(x) = ln(1+x) - x ,x>0
f'(x) = 1/(1+x) -1<0
故f(x)是减函数
f(x) < f(0) =0
即 ln(1+x) < x
分别令x = 1,1/2,1/3,……得
ln2 <1
ln 3/2 < 1/2
ln 4/3 < 1/3
……
ln (n+1)/n < 1/n
各式相加得 ln (n+1) < 1+1/2+1/3+……+1/n
2、令g(x)= lnx - (1- 1/x) ,x>1
g'(x) = 1/x - 1/x² = 1/x (1 - 1/x) >0
g(x)是增函数
∴g(x) > g(1) = 0
即 lnx > 1 - 1/x
分别令x =2,3/2,4/3,……,n/(n-1)
ln2 > 1/2
ln(3/2) > 1/3
ln(4/3) > 1/4
……
ln[n/(n-1)] > 1/n
各式相加得 lnn > 1/2+1/3+.+1/n
即 1+1/2+1/3+.+1/n < 1+ lnn
故 ln(1+n) ＜1+1/2+1/3+.+1/n ＜ 1+ lnn