设多项式f（x）=x4+4kx+1（k为整数），证明f（x）在有理数域Q上不可约．

Question

设多项式f（x）=x⁴+4kx+1（k为整数），证明f（x）在有理数域Q上不可约．

Answer 1

证明：若f（x）有有理根，则有理根只可能±1，但f（±1）=2±4k≠0，
因此f（x）无一次因式
若f（x）可约，则只能是分解成两个二次因式的乘积
又f（x）是整系数多项式，因此f（x）可化为两个整系数的二次因式的乘积
不妨设，f（x）=（x²+ax+1）（x²+bx+1）=x⁴+（a+b）x³+（2+ab）x²+（a+b）x+1，其中a和b是整数
得：

a+b=0

2+ab=0

a+b=4k

，得到a²=2，这与a为整数矛盾
故f（x）不能分解成两个整系数的二次因式的乘积
从而f（x）在有理数域Q上不可约．