求证平面上至两定点的距离的平方差等于定线段的平方的点的轨迹,是两条平行线能画图说明一下吗,不要太深奥,

Question

求证平面上至两定点的距离的平方差等于定线段的平方的点的轨迹,是两条平行线
能画图说明一下吗,不要太深奥,

Answer 1

设两定点为A, B, 任取与AB垂直的直线L, 设L与直线AB交于点C.

对L上任意一点P, 由勾股定理PA² = PC²+AC², PB² = PC²+BC².

相减得PA²-PB² = AC²-BC².

右端是与P无关的常数, 即L上的点到A, B距离平方差为定值.

剩下的就是讨论: 有多少直线所对应的定值能等于事先给定的正数.

当C从AB中点M开始向右运动时, AC²-BC²从0开始严格递增趋于无穷 (用平方差公式证明).

因此在M的右侧存在唯一的C, 使AC²-BC²等于事先给定的正数.

过C的垂线L即为轨迹的一部分.

与之对称的, 在M的左侧, 可以找到直线L', 为轨迹的另一部分.

因此所求轨迹为两条平行直线.

注: 这里的的差是指|PA²-PB²|, 在L上PA²-PB² > 0, 在L'上PA²-PB² < 0.