这个积分如何求解?从0到正无穷积分exp{-at}*cos(wt)dt麻烦给出步骤和使用的定理

Question

这个积分如何求解?
从0到正无穷积分
exp{-at}*cos(wt)dt
麻烦给出步骤和使用的定理

Answer 1

分部积分法 设原式=A
A=(-1/a)*(cos(wt)d(exp(-at))
A=(-1/a)*(cos(wt)*exp(-at)-积分exp(-at)d(cos(wt)))
积分exp(-at)d(cos(wt))
=-w*exp(-at)sin(wt)dt
=(w/a)*sin(wt)d(exp(-at))
=（w/a)*(sin(wt)*exp(-at)-积分exp(-at)d(sin(wt)))
=（w/a)*(sin(wt)*exp(-at)-w积分exp(-at)cos(wt)dt)
=（w/a)*(sin(wt)*exp(-at)-wA) 代入上式
解得A=（exp(-at)*((w/a*)sin(wt)-cos(wt)))/((w^2/a)+a)
再做积分 设积分区间为0到u,结果对u取极限趋于正无穷
结果为a/(w^2+a^2)