某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①cos213°+cos273°-cos13°cos73°；②cos215°+cos275°-cos15°cos75°；③cos240°+cos2100°-cos40°cos100°；④cos2（-30°）+cos230°-cos（-30

Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①cos²13°+cos²73°-cos13°cos73°；
②cos²15°+cos²75°-cos15°cos75°；
③cos²40°+cos²100°-cos40°cos100°；
④cos²（-30°）+cos²30°-cos（-30°）cos30°；
⑤cos²（-12°）+cos²48°-cos（-12°）cos48°．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
^{22
22
22
22
22}

Answer 1

（1）对于①式，原式=cos²213°+cos²273°-cos13°cos（60°+13°）
=cos²213°+cos²273°-cos13°（(1)/(2)cos13°−(√(3))/(2)sin13°）
=(1)/(2)cos213°+(√(3))/(4)sin26°+cos²73°
=(1+cos26°)/(4)+(√(3))/(4)sin26°+(1+cos146°)/(2)
=(3)/(4)+(1)/(2)((1)/(2)cos26°+(√(3))/(2)sin26°)−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)(cos60°cos26°+sin60°sin26°)-(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)cos34°−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)．
（2）根据式子特点猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) (1)/(2)111222cos13°−(√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

3

33222sin13°）
=(1)/(2)cos213°+(√(3))/(4)sin26°+cos²73°
=(1+cos26°)/(4)+(√(3))/(4)sin26°+(1+cos146°)/(2)
=(3)/(4)+(1)/(2)((1)/(2)cos26°+(√(3))/(2)sin26°)−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)(cos60°cos26°+sin60°sin26°)-(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)cos34°−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)．
（2）根据式子特点猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) (1)/(2)111222cos213°+(√(3))/(4)sin26°+cos²73°
=(1+cos26°)/(4)+(√(3))/(4)sin26°+(1+cos146°)/(2)
=(3)/(4)+(1)/(2)((1)/(2)cos26°+(√(3))/(2)sin26°)−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)(cos60°cos26°+sin60°sin26°)-(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)cos34°−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)．
（2）根据式子特点猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) 213°+(√(3))/(4)sin26°+cos²73°
=(1+cos26°)/(4)+(√(3))/(4)sin26°+(1+cos146°)/(2)
=(3)/(4)+(1)/(2)((1)/(2)cos26°+(√(3))/(2)sin26°)−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)(cos60°cos26°+sin60°sin26°)-(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)cos34°−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)．
（2）根据式子特点猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) +(√(3))/(4)√(3)√(3)√(3)

3

33444sin26°+cos²273°
=(1+cos26°)/(4)+(√(3))/(4)sin26°+(1+cos146°)/(2)
=(3)/(4)+(1)/(2)((1)/(2)cos26°+(√(3))/(2)sin26°)−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)(cos60°cos26°+sin60°sin26°)-(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)cos34°−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)．
（2）根据式子特点猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) (1+cos26°)/(4)1+cos26°1+cos26°1+cos26°444+(√(3))/(4)√(3)√(3)√(3)

3

33444sin26°+(1+cos146°)/(2)1+cos146°1+cos146°1+cos146°222
=(3)/(4)+(1)/(2)((1)/(2)cos26°+(√(3))/(2)sin26°)−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)(cos60°cos26°+sin60°sin26°)-(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)cos34°−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)．
（2）根据式子特点猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) (3)/(4)333444+(1)/(2)((1)/(2)cos26°+(√(3))/(2)sin26°)−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)(cos60°cos26°+sin60°sin26°)-(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)cos34°−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)．
（2）根据式子特点猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) (1)/(2)111222((1)/(2)111222cos26°+(√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

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33222sin26°)−(1)/(2)111222cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)(cos60°cos26°+sin60°sin26°)-(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)cos34°−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)．
（2）根据式子特点猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) (3)/(4)333444+(1)/(2)111222(cos60°cos26°+sin60°sin26°)-(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)cos34°−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)．
（2）根据式子特点猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) (1)/(2)111222cos34°
=(3)/(4)+(1)/(2)cos34°−(1)/(2)cos34°
=(3)/(4)．
（2）根据式子特点猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) (3)/(4)333444+(1)/(2)111222cos34°−(1)/(2)111222cos34°
=(3)/(4)．
（2）根据式子特点猜想：cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) (3)/(4)333444．
（2）根据式子特点猜想：cos²2α+cos²2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=(3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) (3)/(4作业帮用户2017-10-21举报问题解析（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．名师点评本题考点：数学归纳法；归纳推理．考点点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)3334

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（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．

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（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．

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（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；
（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．

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（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；
（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos²α+cos²（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．

（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；
（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos²2α+cos²2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．

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归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．

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归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．

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