目前有200毫升杯子一只,矿泉水瓶子550毫升,以及未知容量器皿一个和大量水.问如何测量出320毫升的水利用以上工具求最少次数量出320毫升的水.

Question

目前有200毫升杯子一只,矿泉水瓶子550毫升,以及未知容量器皿一个和大量水.问如何测量出320毫升的水
利用以上工具求最少次数量出320毫升的水.

Answer 1

设：
器皿内倒入水：200 m1+550 n1（毫升）（m1,n1为正整数,或0）
器皿内倒出水：200 m2+550 n2（毫升）（m2,n2为正整数,或0）
则,器皿内剩水：320（毫升）
器皿内倒入水-器皿内倒出水=器皿内剩水,
(200 m1+550 n1)-(200 m2+550 n2)=320
整理：200(m1-m2)+550(n1-n2)=320
令m1-m2=x,n1-n2=y,代入方程,
得：200x+550y=320
整理：20x+55y=32……①
显然,x,y也为整数
二元一次方程整数解存在的条件：
在整系数方程ax+by=c中,若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解.
20和55的最大公约数为5,不能被32整除,所以,方程①没有整数解!
结论,无法测量出320毫升的水!
————
假如测量300毫升的水,则可以测量：
接上：20x+55y=32……②
20和55的最大公约数为5,能被30整除,所以,方程②有整数解.
1,观察知：x=-4,y=2,为方程的一个解
2,方程通解为：x=-4+55k,y=2-20k（k为整数）
显然,1组的解,x,y的绝对值最小
即：m1-m2=x=-4,n1-n2=y=2,
令：m1=0,m2=4；n1=2,n2=0
则：m1+m2+n1+n2=0+4+2+0=6（次）
结论：将2倍的550毫升的水倒入器皿,在器皿中倒出4倍的200毫升的水,器皿剩余水为300毫升.
最少需要倒水6次.