某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°

Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin ² 13°+cos ² 17°-sin13°cos17°
（2）sin ² 15°+cos ² 15°-sin15°cos15°
（3）sin ² 18°+cos ² 12°-sin18°cos12°
（4）sin ² （-18°）+cos ² 48°-sin ² （-18°）cos48°
（5）sin ² （-25°）+cos ² 55°-sin ² （-25°）cos55°
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin ² 13°+cos ² 17°-sin13°cos17°
（2）sin ² 15°+cos ² 15°-sin15°cos15°
（3）sin ² 18°+cos ² 12°-sin18°cos12°
（4）sin ² （-18°）+cos ² 48°-sin ² （-18°）cos48°
（5）sin ² （-25°）+cos ² 55°-sin ² （-25°）cos55°
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin ² 13°+cos ² 17°-sin13°cos17°
（2）sin ² 15°+cos ² 15°-sin15°cos15°
（3）sin ² 18°+cos ² 12°-sin18°cos12°
（4）sin ² （-18°）+cos ² 48°-sin ² （-18°）cos48°
（5）sin ² （-25°）+cos ² 55°-sin ² （-25°）cos55°
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin ² 13°+cos ² 17°-sin13°cos17°
（2）sin ² 15°+cos ² 15°-sin15°cos15°
（3）sin ² 18°+cos ² 12°-sin18°cos12°
（4）sin ² （-18°）+cos ² 48°-sin ² （-18°）cos48°
（5）sin ² （-25°）+cos ² 55°-sin ² （-25°）cos55°
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
^{2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2}

Answer 1

（1）选择（2），计算如下：sin ² 15°+cos ² 15°-sin15°cos15°=1- sin30°= ，
故这个常数为 。
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式
sin ² α+cos ² （30°-α）-sinαcos（30°-α）=
证明：sin ² α+cos ² （30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin ² α+ -sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin ² α+ cos ² α+ sin ² α+ sinαcosα- sinαcosα- sin ² α= sin ² α+ cos ² α= 。

（1）选择（2），计算如下：sin ² 15°+cos ² 15°-sin15°cos15°=1- sin30°= ，
故这个常数为 。
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式
sin ² α+cos ² （30°-α）-sinαcos（30°-α）=
证明：sin ² α+cos ² （30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin ² α+ -sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin ² α+ cos ² α+ sin ² α+ sinαcosα- sinαcosα- sin ² α= sin ² α+ cos ² α= 。 （1）选择（2），计算如下：sin ² 15°+cos ² 15°-sin15°cos15°=1- sin30°= ，
故这个常数为 。
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式
sin ² α+cos ² （30°-α）-sinαcos（30°-α）=
证明：sin ² α+cos ² （30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin ² α+ -sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin ² α+ cos ² α+ sin ² α+ sinαcosα- sinαcosα- sin ² α= sin ² α+ cos ² α= 。 （1）选择（2），计算如下：sin ² 15°+cos ² 15°-sin15°cos15°=1- sin30°= ，
故这个常数为 。
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式
sin ² α+cos ² （30°-α）-sinαcos（30°-α）=
证明：sin ² α+cos ² （30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin ² α+ -sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin ² α+ cos ² α+ sin ² α+ sinαcosα- sinαcosα- sin ² α= sin ² α+ cos ² α= 。 （1）选择（2），计算如下：sin ² 2 15°+cos ² 2 15°-sin15°cos15°=1- sin30°= ，
故这个常数为 。
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式
sin ² 2 α+cos ² 2 （30°-α）-sinαcos（30°-α）=
证明：sin ² 2 α+cos ² 2 （30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin ² 2 α+ -sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin ² 2 α+ cos ² 2 α+ sin ² 2 α+ sinαcosα- sinαcosα- sin ² 2 α= sin ² 2 α+ cos ² 2 α= 。