我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻

Question

我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为500尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（　　）

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Answer 1

设需要n天时间才能打穿，则(2n-1)/(2-1)+(1-((1)/(2))n)/(1-(1)/(2))≥500，
化为：2ⁿ-(2)/(2n)-499≥0，
令f（n）=2ⁿ-(2)/(2n)-499，则f（8）=28-(2)/(28)-499=-(1)/(27)-243<0．
f（9）=2⁹-(2)/(29)-499=13-(1)/(28)>0．
f（x）=2x-(2)/(2x)-499，（x≥1）．
∴f（x）在（8，9）内存在一个零点．
又函数f（x）在x≥1时单调递增，因此f（x）在（8，9）内存在唯一一个零点．
∴需要9天时间才能打穿．
故选：D．