《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”若两只老鼠打洞

Question

《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”若两只老鼠打洞长度之和为33- (1)/(24)尺，则两老鼠打洞的天数是___．

Answer 1

由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞之和为S₁=(1-2n)/(1-2)=2ⁿ-1，
小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以(1)/(2)为公比的等比数列，
前n天打洞之和为S₂=(1-((1)/(2))n)/(1-(1)/(2))=2-(1)/(2n-1)，
∴两只老鼠打洞长度之和S=S₁+S₂=2ⁿ+1-(1)/(2n-1)，
∴S=2ⁿ+1-(1)/(2n-1)，
当S=33-(1)/(24)，即2ⁿ+1-(1)/(2n-1)=33-(1)/(24)，
解得n=5，
故答案为：5．