请告诉我几个平均数不等式的比较——如算数平均数,几何平均数,均方差平均数.要注明式子,如(a＋b)/2.百科的我看不懂,

Question

请告诉我几个平均数不等式的比较——如算数平均数,几何平均数,均方差平均数.要注明式子,如(a＋b)/2.百科的我看不懂,

Answer 1

√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
　　（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
(1)求证：2/(1/a+1/b)≤√ab
2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)
因为a,b∈R+,所以√ab>0
要证明2ab/(a+b)≤√ab
则要证明2√ab/(a+b)≤1
即：2√ab≤（a+b)
因为a-2√ab+b=(√a-√b)^2≥0
所以a+b≥2√ab
即：2√ab≤（a+b)
所以：2/(1/a+1/b)≤√ab
（2）求证：√ab≤(a+b)/2
因为：(a+b)/2-√ab=(a-2√ab+b)/2=[(√a-√b)^2]/2≥0
所以：√ab≤(a+b)/2
（3）求证：(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2
要证明：(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2
则需证明(a2+b2+2ab)/4≤(a2+b2)/2
即：a2+b2+2ab≤2(a2+b2)
也即需要证明：2ab≤a2+b2
因为a2+b2-2ab=(a-b)^2≥0
所以2ab≤a2+b2成立
所以：(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2成立
综上所证：2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2 (a,b∈R+)成立