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函数f(x)在点x0处可导是在该点处可微的条件.
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函数f(x)在点x0处可导是在该点处可微的___条件.
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答案和解析
由f(x)在点x0处可导,得
f′(x0)=
因此,
=f′(x0)+α,其中
α=0
∴△y=f′(x0)△x+α△x
而α△x=o(△x),且f′(x0)不依赖△x
故由微分的定义,可知f(x)在点x0处可微.
若f(x)在点x0处可微,则
△y=A△x+o(△x)
∴
=A+
∴A=
=f′(x0)
即f(x)在点x0处可导
故函数f(x)在点x0处可导是在该点处可微的充要条件.
f′(x0)=
lim |
△x→0 |
△y |
△x |
因此,
△y |
△x |
lim |
△x→0 |
∴△y=f′(x0)△x+α△x
而α△x=o(△x),且f′(x0)不依赖△x
故由微分的定义,可知f(x)在点x0处可微.
若f(x)在点x0处可微,则
△y=A△x+o(△x)
∴
△y |
△x |
o(△x) |
△x |
∴A=
lim |
△x→0 |
△y |
△x |
即f(x)在点x0处可导
故函数f(x)在点x0处可导是在该点处可微的充要条件.
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