从集合{1,2...,1000}中选3个数使得其和是4的倍数,问有多少种方法?离散数学屈婉玲高等数学教育社出版社版.

Question

从集合{1,2...,1000}中选3个数使得其和是4的倍数,问有多少种方法?
离散数学屈婉玲高等数学教育社出版社版.

Answer 1

把这 1000 个数分四组：
（1）1,5,9,.,997 ,共 250 个,它们是被 4 除余 1 的数；
（2）2,6,10,.,998,共 250 个,它们是被 4 除余 2 的数；
（3）3,7,11,.,999,共 250 个,它们是被 4 除余 3 的数；
（4）4,8,12,.,1000,共 250 个,它们是能被 4 整除的数.
从这 1000 个数中选 3 个数使其和是 4 的倍数,可以有以下几种做法：
一、从第（1）组中选 2 个,再从第（2）组中选 1 个.
共有 C(250,2)*C(250,1)=7781250 种选法；
二、从第（2）组中选 2 个,再从第（3）组中选 1 个.
共有 C(250,2)*C(250,1)=7781250 种选法；
三、从第（3）组中选 2 个,再从第（2）组中选 1 个.
共有 C(250,2)*C(250,1)=7781250 种选法；
四、从第（1）、（3）（4）组中各选 1 个.
共有 250*250*250=15625000 种选法；
五、从第（3）组中选 3 个.
共有 C(250,3)=2573000 种选法；
所以,总共有 7781250+7781250+7781250+15625000+2573000=41541750 种不同选法.