A、B两数都恰只含有质因数3和5,它们的最大公因数是75,已知A数有12个因数,B数有10个因数,那么A、B两数的和是多少?2008年4月18日截止）

Question

A、B两数都恰只含有质因数3和5,它们的最大公因数是75,已知A数有12个因数,B数有10个因数,那么A、B两数的和是多少?
2008年4月18日截止）

Answer 1

做这道题要用到以下知识点:
1. 因数个数:指数(因数的个数)加1的连乘积.如:24=3个2*1个3,(说明:3个2是指2*2*2,下同)那么24有(3+1)*(1+1)=8个因数.
2. 两个数写成质因数相乘时,如何确定最大公因数.如:
A=3个2*1个3,B=2个2*3个3,那么A,B的最大公因数是:2个2*1个3=12,即相同的质因数取个数最少的.
原题分析:75=3*2个5,因此A,B每个数至少有1个3和2个5.
由A有12个因数,12=2*6=3*4,即A=(1+1)*(5+1)=(2+1)*(3+1),那么A有以下四种形式:(1)1个3*5个5,(2)5个3*1个5,(3)2个3*3个5,(4)3个3*2个5.
又B有10个因数,10=2*5=(1+1)*(4+1),故B有以下两种形式:(a)1个3*4个5,(b)4个3*1个5.
把(a)和上面的(1),(2),(3),(4)结合,求出最大公因数来,发现只有(a)和(4)的最大公因数为:3*2个5=75满足条件.
把(b)和(1),(2),(3),(4)结合发现,没有满足条件的最大公因数.
所以A=3个3*2个5=675,B=1个3*4个5=1875,A+B=2550.