已知α、β∈(0,π/2),α+β≠π/2,且3sinβcscα=cos(α+β)(1)求证tan(α+β)=4/3tanα（2）tanβ最大时,求2α+2β的值

Question

已知α、β∈(0,π/2),α+β≠π/2,且3sinβcscα=cos(α+β) (1)求证tan(α+β)=4/3 tanα
（2）tanβ最大时,求2α+2β的值

Answer 1

(1)证明:3sinβcscα=3sin[(α+β)-α]/sinα
=3[sin(α+β)sinα-cos(α+β)sinα]/sinα
=3sin(α+β)/tanα -3cos(α+β)
=cos(α+β)
3sin(α+β)/cos(α+β)=4tanα
即得 tan(α+β)=4/3 tanα
（2）tan(α+β)=4/3 tanα=4/3 tan[(α+β)-β] 令tan(α+β)=X 得 X=4/3*[(X-tanβ)/1+X*tanβ]
3X+3X^2*tanβ=4X-4tanβ
3X^2*tanβ-X+4tanβ =0 方程有实根 1>=48 (tanβ )^2 tanβ