求积分:（√(x^2-4))/x,进行三角代换使用sec函数时,是否需要注意使分子根号内>=0的定义域,为什么?即求该积分时是直接使用sec三角代换做到底其他不用管,还是说求解过程中要注意分子解出

Question

求积分:（√(x^2 -4 ) )/x ,进行三角代换使用sec函数时,是否需要注意使分子根号内>=0的定义域,为什么?
即求该积分时是直接使用sec三角代换做到底其他不用管,还是说求解过程中要注意分子解出的定义域然后分情况讨论?

Answer 1

根号内的自然要大于0,不然就是虚数了
这定义域是取决于arcsecx
值域θ = arcsecx∈[0,π/2)U(π/2,π],定义域x∈(- ∞,- 1]U[1,+∞)
设x = 2secθ,dx = 2secθtanθ dθ
当x ≤ - 2,θ∈(π/2,π]
∫ √(x² - 4)/x dx = ∫ |2tanθ|/(2secθ) • (2secθtanθ dθ)
= ∫ (- 2tanθ) • tanθ dθ
= - 2∫ (sec²θ - 1) dθ
= 2θ - 2tanθ + C
= 2arcsec(x/2) - √(x² - 4) + C
当x ≥ 2,θ∈[0,π/2)
∫ √(x² - 4)/x dx = ∫ |2tanθ|/(2secθ) • (2secθtanθ dθ)
= ∫ (2tanθ) • tanθ dθ
= 2∫ (sec²θ - 1) dθ
= 2tanθ - 2θ + C
= √(x² - 4) - 2arcsec(x/2) + C
∴∫ √(x² - 4)/x dx =
{ 2arcsec(x/2) - √(x² - 4) + C,x ≤ - 2
{ √(x² - 4) - 2arcsec(x/2) + C,x ≥ 2