已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC=34，点D在边BC上（不与点B、C重合），点E在边BC的延长线上，∠DAE=∠BAC，点F在线段AE上，∠ACF=∠B．设BD=x．（1）若点F恰好是AE的中点，求线段B

Question

已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC=(3)/(4)，点D在边BC上（不与点B、C重合），点E在边BC的延长线上，∠DAE=∠BAC，点F在线段AE上，∠ACF=∠B．设BD=x．

（1）若点F恰好是AE的中点，求线段BD的长；
（2）若y=(AF)/(EF)，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时，求线段BD的长．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC=(3)/(4)，
∴AC=6，AB=10，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠FAC=∠DAB，
∵∠ACF=∠B，
∴△ABD∽△ACF，
∴(AD)/(AF)=(BD)/(CF)，
在Rt△ABC中，点F恰好是AE的中点，
∴CF=(1)/(2)AE=AF，
∴AD=BD，
在Rt△ACD中，AC=6，CD=BC-BD=BC-AD=8-AD，
根据勾股定理得，AC²+CD²=AD²，
∴36+（8-AD）²=AD²，
∴AD=(25)/(4)，
∴BD=AD=(25)/(4)，
（2）如图1，过点F作FM⊥AC于M，
由（1）知，∴(AD)/(AF)=(BD)/(CF)=(AB)/(AC)，
∴CF=(AC)/(AB)•BD=(6)/(10)×x=(3)/(5)x，
由（1）△ABD∽△ACF，
∴∠B=∠ACF，
∴tan∠ACF=tanB=(1)/(cot∠BAC)=(4)/(3)=(FM)/(MC)，
∴MC=(12)/(25)x，
∴y=(AF)/(EF)=(AM)/(MC)=(6-(12)/(25)x)/((12)/(25)x)=(25-2x)/(2x)（0<x<8）
（3）∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，
∴①当AD=AE时，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠ACD=90°，
∴∠EAC=∠DAC=∠DAB，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴(AC)/(AB)=(CD)/(BD)，
∵AC=6，AB=10，CD=8-BD，
∴(6)/(10)=(8-BD)/(BD)，
∴BD=5，
当AD=DE时，
∴∠DAE=∠DEA=∠BAC，
∴∠ADE=2∠B，
∴∠B=∠DAB，
∴AD=BD=(25)/(4)（是（1）的那种情况）．
即：BD=5或BD=(25)/(4)时，△ADE是以AD为腰的等腰三角形．