已知log(tanα＋cotα)sinα＝－3／4,α∈(0,π／2),求log（tanα)cosα的值答案是1/2

Question

已知log(tanα＋cotα)sinα＝－3／4,α∈(0,π／2),求log（tanα)cosα的值
答案是1/2

Answer 1

∵ tanα+cotα=1/sinαcosα,
∴ log(tanα＋cotα)sinα＝-log(sinαcosα)sinα=-3/4,
即 log(sinαcosα)sinα=3/4；
∵α∈(0,π／2),sinα∈（0,1）,
∴换成sinα为底,上式可以化为
log（sinα）sinα/log（sinα）sinαcosα
=log（sinα）sinα/（log（sinα）sinα+log（sinα）cosα）
=1/（1+log（sinα）cosα）
=3/4；
整理可得：sinα=cos^3(α) ①；
又有：sinα的平方+cosα的平方=1 ②；
将①、②整理,可得（cosα）^3+cosα-1=0；解出cosα值.（这个方程的解析你看书上有没有结果吧,结果是一个实数和两个虚数,过程我就不写了,自己看吧,嘿嘿）
对于log（tanα)cosα,同样换底,以cosα为底,
可化为：log（cosα)tanα/ log（cosα)cosα
= log（cosα)（sinα/cosα）/1
=log（cosα)sinα-log（cosα)cosα
=log（cosα)sinα-1
将上面解出的cosα的值代进去算就可以得结果了.