设f(x)[0,π]上连续,且在(0,π)内可导,证明至少存在一点ξ∈(0,π),使得f'(ξ)+f(ξ)cotξ=0

Question

设f(x)[0,π]上连续,且在(0,π)内可导,证明至少存在一点ξ∈(0,π),使得f'(ξ)+f(ξ)cotξ=0

Answer 1

令F(x)=f(x)sinx,则F(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且F(0)=F(π)=0,由罗尔定理,设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导,且f(a)=f(b),那么至少存在一点ξ∈(0,π),使得f'(ξ)=0.所以：存在一点ε∈(0,π）,使得F'(ε)=0,即f'（ε）sinε+f(ε)cosε=0