根号下25-x^2的积分是多少?

Question

根号下25-x^2 的积分是多少?

Answer 1

不是定积分吧.
原式=∫√(25-x^2)dx
设x=5sint,则dx=5cosdt…………………………变量代换
原式=∫√[25-25(sint)^2]·5costdt
=∫5cost·5costdt
=25∫(cost)^2dt
=25∫{[1+cos(2t)]/2}dt……………………………二倍角公式cos2t=2(cost)^2-1
=(25/2)∫[1+cos(2t)]dt
=(25/2)[t+(1/2)sin(2t)]+C
=(25/4)sin(2t)+(25/2)t+C
把t=arcsin(x/5)代入上式,得
原式=(25/4)sin[2arcsin(x/5)]+(25/2)arcsin(x/5)+C
=(x/2)√(25-x^2)+(25/2)arcsin(x/5)+C
其中,
sin[2arcsin(x/5)]
=2sin(arcsin(x/5))cos(arcsin(x/5))
=2×(x/5)×(√(25-x^2)/5)
=(2/25)x√(25-x^2)
需要画出以5为斜边、x和√(25-x^2)的直角三角形来帮助理解与计算.