为什么互为反函数的两函数图像能是同一条曲线呢?

Question

为什么互为反函数的两函数图像能是同一条曲线呢?

Answer 1

你这句话不严谨.应该是“函数y=f(x)和反函数x=g(y)表示同一条曲线”.
关于反函数的一些基本概念这里不提了,就说图像.y=e^x和y=ln x互为反函数,它们俩的图像关于y=x对称,你会问不是同一条曲线吗?确实这哥俩的图像关于y=x对称,不是同一条曲线,可是你知道它们俩为何互为反函数,又是怎么求出来的呢?
关于反函数的存在条件这里不讨论,假使给你y=e^x函数要你求其反函数,你会怎么求?首先考察定义域值域；其次改变对应关系把y=e^x化成x=ln y；然后交换x,y位置y=ln x；最后综合原来函数定义域值域确定反函数定义域值域.得出的结果如上所述,但是这并不是我们讨论的命题.
我们讨论的命题是函数y=f(x)和反函数x=g(y),请注意反函数的自变量和因变量,所以我们这里讨论的是y=e^x和x=ln y的关系,确实x=ln y是y=e^x的反函数,只不过我们通常以x为自变量（即横轴）,所以改变了它们的位置,但是不影响反函数的本质,因为函数的三个条件（定义域、值域、对应关系）不包含表示字母,换句话说我们可以任意改变函数的字母表示.
就这个命题来说,意义不大,但是涉及积分等与字母无关一些题中,了解这个命题还是很方便的.
这个命题就是在字母无关性上做点文章.