对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类．若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，（

Question

对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类．若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，
（ 1）三种分类的类数之和是多少？
（ 2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同．

Answer 1

（1）因为 a₁，a₂，a₃，…，a_i；b₁，b₂，b₃，…，b_j；c₁，c₂，c₃，…，c_k包含了1到30的所有整数，所以n≥30，另一方面，
3×155=a₁+a₂+a₃+…+a_i+b₁+b₂+b₃+…+b_j+c₁+c₂+c₃+…+c_k≥1+2+3+…+30=(30×31)/(2)=465=3×155．
所以n=i+j+k=30，三种分类的类数之和是30．
（2）不妨设a₁=30，记这30个盒子的类为A类．因为i+j+k=30，必有j≤14或k≤14，不妨设j≤14．A类的30个盒子分到这不超过14个类中去，必有一类至少有三个盒子，这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同．