点ABC是三家工厂,B厂和C厂的产量都为a吨,A厂的产量为2a吨,现在为把三厂的产品集中起来建一仓库.设仓库在D点,AD=x千米,BD=y千米,CD=z千米,每吨货物运行1千米所需费用为10元.D点选在何处时总费

Question

点ABC是三家工厂,B厂和C厂的产量都为a吨,A厂的产量为2a吨,现在为把三厂的产品集中起来建一仓库.
设仓库在D点,AD=x千米,BD=y千米,CD=z千米,每吨货物运行1千米所需费用为10元.D点选在何处时总费用最少?（利用几何知识考虑x+y,x+z的最小值）
A
B C

Answer 1

对于三角形内任一点D,我们有：
BD+DA>BA
CD+DA>CA
即：BD+CD+2DA>BA+CA
y+z+2x>BA+CA
ay+az+2ax>a(BA+CA)
我们看到,不等式左边其实就是总的运费,其最小值就是a(BA+CA),也就是说,当y=BA,z=CA,x=0时,总费用最少. （此时D点与A点重合