如图（1），∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图（1）

Question

如图（1），∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图（1），当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是___；
（2）如图（2），将图（1）中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF= (1)/(2)AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与AD的延长线交于点E，其他条件不变，请你探究：在运动变化过程中，（2）中的结论还成立吗？如成立，请说明理由．如不成立，请写出DE，DF，AD之间满足的数量关系，并加以证明．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APD=90°，∠PAD=PDF=45°，PA=PD，
∵∠QPN=α=90°，
∴∠APE=∠DPF=90°-∠DPE，
在△PAE和△PDF中，

∠PAD=∠PDF

PA=PD

∠APE=∠DPF

，
∴△PAE≌△PDF，
∴DF=AE，
∴DE+DF=AD，
故答案为：DE+DF=AD；

（2）如图（1），取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，

∠PME=∠PDF

PM=PD

∠MPE=∠FPD

∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，
∴DE+DF=DE+ME=MD，
即DE+DF=(1)/(2)AD；

（3）如图③，当点E落在AD的延长线上时，
取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，

∠PME=∠PDF

PM=PD

∠MPE=∠FPD

∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，
∴DF-DE=ME-DE=DM=(1)/(2)AD．