（2014•兰州）如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存

Question

（2014•兰州）如图，抛物线y=-(1)/(2)x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-(1)/(2)x²+mx+n经过A（-1，0），C（0，2）．
解得：

m＝(3)/(2)

n＝2

，
∴抛物线的解析式为：y=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x+2；

（2）∵y=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x+2，
∴y=-(1)/(2)（x-(3)/(2)）²+(25)/(8)，
∴抛物线的对称轴是x=(3)/(2)．
∴OD=(3)/(2)．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=(5)/(2)．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃=CD．
作CH⊥x对称轴于H，
∴HP₁=HD=2，
∴DP₁=4．
∴P₁（(3)/(2)，4），P₂（(3)/(2)，(5)/(2)），P₃（(3)/(2)，-(5)/(2)）；

（3）当y=0时，0=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x+2
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

2＝b

0＝4k+b

，
解得：

k＝−(1)/(2)

b＝2

，
∴直线BC的解析式为：y=-(1)/(2)x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，-(1)/(2)a+2），F（a，-(1)/(2)a²+(3)/(2)a+2），
∴EF=-(1)/(2)a²+(3)/(2)a+2-（-(1)/(2)a+2）=-(1)/(2)a²+2a（0≤x≤4）．
∵S_{四边形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=(1)/(2)BD•OC+(1)/(2)EF•CM+(1)/(2)EF•BN，
=(1)/(2)×(5)/(2)×2+(1)/(2)a（-(1)/(2)a²+2a）+(1)/(2)（4-a）（-(1)/(2)a²+2a），
=-a²+4a+(5)/(2)（0≤x≤4）．
=-（a-2）²+(13)/(2)
∴a=2时，S_{四边形CDBF的面积最大}=(13)/(2)，
∴E（2，1）．