如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．（1）

Question

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．
（1）求(DF)/(CF)的值．
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴(DE)/(BE)＝(DP)/(BQ)．
∵EF∥BC，∴(DE)/(BE)＝(DF)/(CF)．
又∵BQ=2DP，∴(DF)/(CF)＝(1)/(2)．
（2）不发生变化．
作EM⊥BC，垂足为点M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴(EF)/(BC)＝(DE)/(DB)＝(1)/(3)．
而BC=13，
∴EF＝(13)/(3)．
又∵PD∥CG，
∴(PD)/(CG)＝(DF)/(CF)＝(1)/(2)．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN⊥BC，垂足为点N．
∴(EM)/(DN)=(BE)/(BD)=(EM)/(AB)=(2)/(3)，
而AB=12，
∴可求得EM=8．
∴S＝(1)/(2)×((13)/(3)+13)×8＝(208)/(3)．

（3）作PH⊥BC，垂足为点H．
（i）当PQ=PG时，QH＝GH＝(13)/(2)．
∴2x+(13)/(2)＝11−x．
解得x＝(3)/(2)．
（ii）当PQ=GQ时，PQ＝√((11−3x)2+122)＝13．
解得x=2或x＝(16)/(3)．
综上所述，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为(3)/(2)、2或(16)/(3)．