如图所示,四边形ABCD是正方形,边长为a,分别以点A、B、C、D为圆心,以a为半径在正方形内画四条弧.求这四条弧所围成的阴影部分的面积.有完整的解析过程,答好有分加!

Question

如图所示,四边形ABCD是正方形,边长为a,分别以点A、B、C、D为圆心,以a为半径在正方形内画四条弧.求这四条弧所围成的阴影部分的面积.
有完整的解析过程,答好有分加!

Answer 1

你的问题实际上是求4个扇形公共部分的面积． 
为使计算简单,设正方形的边长为1.
解联立方程组x^2+y^2=1及(x-1)^2+y^2=1,得到P(1/2,√3/2).
所以,∠AOP=60°.由此可知,P,Q为圆孤AQPC的三等分点.
弦PQ⊥OB,所以,阴影部分的内接四边形是正方形.
因∠POQ=30°,PQ/2=OP*sin15°,PQ=2sin15°=(√6-√2)/2.
小正方形的面积=PQ^2=2-√3.
我们再计算一个小弓形的面积=π/12-1/2*1*1*sin30°=π/12-1/4.
4个的面积=4（π/12-1/4）=π/3-1.
所以,阴影部分的面积=2-√3+π/3-1=π/3+1-√3.