计算二重积分∫∫xyfxy''(x,y)dxdy(抽象函数)已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,∫∫f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分∫∫xyfxy''(x,y)dxdy

Question

计算二重积分∫∫xyfxy''(x,y)dxdy(抽象函数)
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,∫∫f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分∫∫xyfxy''(x,y)dxdy

Answer 1

恩 2011年考研题目
打不出偏导用求导代替
因为函数f(x,y)具有二阶连续偏导数
分步积分法∫∫xyfxy''(x,y)dxdy=∫dx∫xydf'x=∫dx(xyf'x-∫xf'xdy)带0≤x≤1,0≤y≤1入
因为f(1,y)=0,f(x,1)=0得∫dx(xf'x(x,1)-∫xf'xdy)=∫xf'x(x,1)dx-∫∫xf'xdydx=∫xdf(x,1)-∫∫xf'xdydx
再对第一部分分步积分 得xf(x,1)-∫f(x,1)dx因为f(x,1)=0 所以∫xf'x(x,1)dx=0
第二部分交换积分顺序得-∫∫xf'xdxdy=-∫dy∫xdf再分步积分 -∫dy∫xdf=-∫dy(xf(x,y)-∫fdx)
带0≤x≤1,0≤y≤1入,和上面一样做法
得-∫dy∫-fdx=a
当时这题目感觉还没前面一道函数比较题难