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求y=xy'Inx+(xy')^2的通解
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求y=xy'Inx+(xy')^2的通解
▼优质解答
答案和解析
令x=e^t,dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(dy/dt)/x
原式就化为y关于自变量t的方程:y=ty'+(y')² ------------------- ①式
等式两边同时对t求导得到y'=y'+ty''+2y'y'',得到y''(t+2y')=0,
y''=0或者y'=-t/2
1.若y''=0,则y'=C,代入①式得到y=Ct+C² ,y=Clnx+C²
2.若y'=-t/2,代入①式得到:y=t(-t/2)+(-t/2)²,y=-(lnx)²/4
综上,y=Clnx+C²为原方程通解,y=-(lnx)²/4为原方程奇解
原式就化为y关于自变量t的方程:y=ty'+(y')² ------------------- ①式
等式两边同时对t求导得到y'=y'+ty''+2y'y'',得到y''(t+2y')=0,
y''=0或者y'=-t/2
1.若y''=0,则y'=C,代入①式得到y=Ct+C² ,y=Clnx+C²
2.若y'=-t/2,代入①式得到:y=t(-t/2)+(-t/2)²,y=-(lnx)²/4
综上,y=Clnx+C²为原方程通解,y=-(lnx)²/4为原方程奇解
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