如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，O经过A，B，D三点．（1）求证：AB是O的直径；（2）判断DE与O的位置关系，并加以证明；（3）若O的半径为3，∠BAC=60°，

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E， O经过A，B，D三点．

（1）求证：AB是 O的直径；
（2）判断DE与 O的位置关系，并加以证明；
（3）若 O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB为圆O的直径；
（2）DE与圆O相切，理由为：
证明：连接OD，
∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为圆的半径，
∴DE与圆O相切；
（3） ∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，
连接BF，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
∴AF=CF=3，DE∥BF，
∵D为BC中点，
∴E为CF中点，即DE为△BCF中位线，
在Rt△ABF中，AB=6，AF=3，
根据勾股定理得：BF=√(62-32)=3√(3)，
则DE=(1)/(2)BF=(3√(3))/(2)．