如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的 O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．

（1）求证：直线DF与 O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：如图，

连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在 O上，
∴直线DF与 O相切；
（2） ∵四边形ACDE是 O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴(BD)/(AB)=(BE)/(BC)，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=(1)/(2)BC=3，
又∵AE=7，
∴(3)/(7+BE)=(BE)/(6)，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．