（2011•静安区二模）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．（1）求证：DH=HG=BG；（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．

Question

（2011•静安区二模）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．
（1）求证：DH=HG=BG；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．（1分）
∴△DHF∽△BHA，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴(DH)/(HB)＝(DF)/(AB)＝(DF)/(CD)＝(1)/(2)．（2分）
∴DH=(1)/(3)BD．（1分）
同理：BG=(1)/(3)BD．（1分）
∴DH=HG=GB=(1)/(3)BD．（1分）

（2）连接EF，交BD于点O．（1分）
∵AB∥CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴(FO)/(EO)＝(OD)/(BO)＝(DF)/(BE)＝((1)/(2)CD)/((1)/(2)AB)＝1．（1分）
∴FO=EO，DO=BO．（1分）
∵DH=GB，
∴OH=OG．
∴四边形EGFH是平行四边形．（1分）
∵点E、O分别是AB、BD的中点，∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．（1分）
∴▱HEGF是菱形．（1分）