已知ab均大于0,求证2ab/a+b≤根号下ab≤a+b/2≤根号下a方+b方/2请用分析法综合法也ok

Question

已知ab均大于0,求证2ab/a+b≤根号下ab≤a+b/2≤根号下a方+b方/2 请用分析法
综合法也ok

Answer 1

1)2ab/(a+b)-√(ab)=√(ab)[2√(ab)/(a+b)-1]=√(ab)/(a+b)[2√(ab)-a-b]=-√(ab)/(a+b)[√a-√b]²≤0
所以2ab/(a+b)≤√(ab)；
2)√(ab)-(a+b)/2=[2√(ab)-a-b]/2=-[a-2√(ab)+b]/2=-[√a-√b]²≤0,所以√(ab)≤(a+b)/2；
3)要证(a+b)/2≤√[(a²+b²)/2],即证(a²+b²+2ab)/4≤[(a²+b²)/2],也即要证ab/2≤(a²+b²)/4,也就是需要证明2ab≤a²+b²,也就是要证明(a-b)²≥0.这是显然的.所以(a+b)/2≤√[(a²+b²)/2].
综上所述,2ab/a+b≤根号下ab≤a+b/2≤根号下a方+b方/2