如图，△AOB中，OA=OB，∠AOB=90゜，AD平分∠OAB交OB于D，OE⊥AD交AB于E，垂足为F，（1）求证：OD=BE；（2）若DF=2，求AD-OE的值．

Question

如图，△AOB中，OA=OB，∠AOB=90゜，AD平分∠OAB交OB于D，OE⊥AD交AB于E，垂足为F，

（1）求证：OD=BE； 
（2）若DF=√(2)，求AD-OE的值．

Answer 1

证明：（1）连接DE，
∵OE⊥AD，
∴∠AFE=∠AFO=90°，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAF=∠OAF，
在△EAF和△OAF中，

∠EAF＝∠OAF

AF＝AF

∠EFA＝∠OFA

，
∴△EAF≌△OAF（ASA），
∴AE=AO，∠AEO=∠AOE，
∵AD⊥OE，
∴EF=FO，
∴DE=DO，
∴∠DEO=∠DOE，
∵∠AEO=∠AOE，
∴∠AED=∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠B=45°，
∴∠EDB=∠AEO-∠B=90°-45°=45°=∠B，
∴BE=DE，
∴OD=BE．
（2）在AD上截AM=OE，连接OM，
∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，
∴∠OAM=22.5°，
∵OD=DE，
∴∠DEO=∠DOE，
∵∠EDB=45°=∠DEO+∠DOE，
∴∠EOB=22.5°=∠OAM，
在△AMO和△OEB中，

AO＝OB

∠OAM＝∠EOB

AM＝OE

，
∴△AMO≌△OEB（SAS），
∴MO=BE=OD，
∵OE⊥AD，
∴DF=MF，
∴AD-OE=DM=2DF=2√(2)．