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已知a,b,c为不等正实数,且abc=1,求证:√a+√b+√c＜1/a+1/b+1/c
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已知a,b,c为不等正实数,且abc=1,求证:√a+√b+√c＜1/a+1/b+1/c
▼优质解答
答案和解析
注意到由条件abc=1可知:
1/a=bc
1/b=ac
1/c=ab
所以由均值不等式：1/a+1/b=bc+ac>=2√(abc^2)
又由abc=1,则abc^2=c,所以1/a+1/b>=2√c
同理：1/b+1/c>=2√a
1/a+1/c>=2√b
以上三式相加后再两边除以2可得1/a+1/b+1/c>=√a+√b+√c
由于均值不等式等号成立条件可知要使等号成立,则a=b=c,而此时a,b,c不相等,故取不到等号,所以：
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c
1/a=bc
1/b=ac
1/c=ab
所以由均值不等式：1/a+1/b=bc+ac>=2√(abc^2)
又由abc=1,则abc^2=c,所以1/a+1/b>=2√c
同理：1/b+1/c>=2√a
1/a+1/c>=2√b
以上三式相加后再两边除以2可得1/a+1/b+1/c>=√a+√b+√c
由于均值不等式等号成立条件可知要使等号成立,则a=b=c,而此时a,b,c不相等,故取不到等号,所以：
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c
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