在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若b=7，a+c=5，求△ABC的面积．

Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=√(7)，a+c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中，由已知cos2B+cosB=0得  2cos²B+cosB-1=0，…（2分）
解得 cosB=(1)/(2)，或cosB=-1（舍去）． …（4分）
所以，B=(π)/(3)．    …（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得 b²=a²+c²-2ac•cosB．    …（8分）
将B=(π)/(3)，b=√(7)代入上式，整理得 （a+c）²-3ac=7．
因为 a+c=5，所以，ac=6．         …（11分）
所以△ABC的面积 S=(1)/(2)ac•sinB=(3√(3))/(2)．       …（13分）